[q201110161400]  $R$ を環, $1_{R}$ を $R$ の単位元とするとき, 写像 $$ f: \mathbb{Z}\longrightarrow R,\quad n\longmapsto n\cdot 1_{R} $$ は環準同型であることを証明せよ.

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[q201110161430]  $R$ を環とし, $1_{R}$ を $R$ の単位元とする. このとき, 整数環 $\mathbb{Z}$ から $R$ への環準同型写像は $$ f: \mathbb{Z}\longrightarrow R,\quad n\longmapsto n\cdot 1_{R} $$ によって与えられるものしかないことを証明せよ.

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[q201110161500]  $R$, $R'$ を環, $f:R\rightarrow R'$ を環準同型写像, $S$ を $R$ の部分環とする. このとき, $f(S)$ は $R'$ の部分環であることを証明せよ.

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[q201110200700]  $R$ を環, $0_{R}$ を $R$ の零元, $1_{R}$ を $R$ の単位元とする. このとき, 次の条件はすべて同値であることを証明せよ.

(i) $R$ の標数は $1$ である.

(ii) $1_{R}=0_{R}$.

(iii) $R$ は零環である.

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[q201110200800]  標数 $m$ の環 $R$ は, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ と同型な部分環を含む. さらに, $m\neq 1$ のとき, その部分環は零環を除いて $R$ の最小の部分環である. このことを証明せよ.

なお, $m=0$ のとき, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\{0\}\cong\mathbb{Z}$ であることを注意しておく.

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