[q201110221000]  $R$ を環とする. 任意の $0$ でない $R$ の元 $x$ に対して, $R$ のある元 $y$ が存在して, $xy=1$ が成り立つとする. このとき, $R$ は斜体であることを証明せよ.

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[q201110161100]  $R$ を環とし, $$ Z(R) = \{a\in R\mid ax = xa\,(\forall x\in R)\} $$ とおく. このとき, $Z(R)$ は $R$ の可換な部分環であることを証明せよ.

Keywords: 中心

Description: $Z(R)$ を $R$ の中心という.

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[q201110161130]  斜体 $K$ の中心は $K$ の部分体であることを証明せよ.

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[q201110161200]  $R$ を環, $a\in R$ とし, $$ C(a) = \{x\in R\mid xa = ax\} $$ とおく. このとき, $C(a)$ は $R$ の部分環である. さらに, $R$ が斜体ならば, $C(a)$ も斜体である. このことを証明せよ.

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[q201110161230]  $R$ を環, $Z(R)$ を $R$ の中心とする. 各 $a\in R$ に対し, $$ C(a) = \{x\in R\mid xa = ax\} $$ とおく. このとき, $$ Z(R) = \bigcap_{a\in R}C(a) $$ が成り立つことを証明せよ.

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