解答例 1

$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とおく. Hamilton-Cayley の定理により, $$ A^{2} - (a+d)A + (ad-bc)E = O. $$ これと与えられた等式 $A^{2} = A$ とから, $A^{2}$ を消去すると, \begin{equation} (a+d-1)A = (ad-bc)E. \tag{1} \end{equation}

$a+d-1\neq 0$ のとき. (1) の両辺の各成分を比較すると, \begin{equation*} \left\{ \begin{split} &(a+d-1)a = ad-bc, \\ &(a+d-1)b = 0, \\ &(a+d-1)c = 0, \\ &(a+d-1)d = ad-bc. \end{split}\right. \end{equation*} これより, $$ a = d = \frac{ad-bc}{a+d-1},\quad b=c=0. $$ よって, $$ A=aE,\quad (2a-1)a = a^{2}. $$ 2番目の式より, $a(a-1)=0$. ゆえに, $a=0$ または $1$. したがって, $A=O$ または $E$.

$a+d-1=0$ のとき. (1) より, $ad-bc=0$. よって, \begin{equation} d=1-a,\quad bc=ad=a(1-a). \tag{2} \end{equation} $c\neq 0$ の場合, $s$ を任意の実数, $t$ を $0$ でない任意の実数として, $a=s$, $c=t$ とおけば, $$ b = \frac{a(1-a)}{c} = \frac{s(a-s)}{t}. $$ このとき, $$ A = \begin{bmatrix} s & s(1-s)/t \\ t & 1-s \end{bmatrix}. $$ $c=0$ の場合, (2) の2番目の式より, $a(1-a)=0$. これより, $a=0$ または $1$. よって, (2) の1番目の式より, $$ (a, d) = (0, 1),\,(1, 0). $$ $s$ を任意の実数として, $b=s$ とおけば, $$ A = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 0 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

以上より, 求める行列 $A$ は次の形のものである. $$ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} s & s(1-s)/t \\ t & 1-s \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 0 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$ ただし, $s$ は任意の実数, $t$ は $0$ でない任意の実数である.

最終更新日：2011年11月02日