解答例 1

$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とおく. Hamilton-Cayley の定理により, $$ A^{2} - (a+d)A + (ad-bc)E = O. $$ これと与えられた等式 $A^{2} = E$ とから, $A^{2}$ を消去すると, \begin{equation} (a+d)A = (ad-bc+1)E. \tag{1} \end{equation}

$a+d\neq 0$ のとき. (1) の両辺の各成分を比較すると, \begin{equation*} \left\{ \begin{split} &(a+d)a = ad-bc+1, \\ &(a+d)b = 0, \\ &(a+d)c = 0, \\ &(a+d)d = ad-bc+1. \end{split}\right. \end{equation*} これより, $$ a = d = \frac{ad-bc+1}{a+d},\quad b=c=0. $$ よって, $$ A=aE,\quad 2a^{2} = a^{2} + 1. $$ 2番目の式より, $a^{2}=1$. ゆえに, $a=\pm 1$. したがって, $A=\pm E$.

$a+d=0$ のとき. (1) より, $ad-bc+1=0$. よって, \begin{equation} d=-a,\quad bc=1+ad=1-a^{2}. \tag{2} \end{equation} $c\neq 0$ の場合, $s$ を任意の実数, $t$ を $0$ でない任意の実数として, $a=s$, $c=t$ とおけば, $$ b = \frac{1-a^{2}}{c} = \frac{1-s^{2}}{t}. $$ このとき, $$ A = \begin{bmatrix} s & (1-s^{2})/t \\ t & -s \end{bmatrix}. $$ $c=0$ の場合, (2) の2番目の式より, $a^{2}=1$. これより, $a=\pm 1$. よって, (2) の1番目の式より, $$ (a, d) = (1, -1),\,(-1, 1). $$ $s$ を任意の実数として, $b=s$ とおけば, $$ A = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} -1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

以上より, 求める行列 $A$ は次の形のものである. $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} s & (1-s^{2})/t \\ t & -s \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} -1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$ ただし, $s$ は任意の実数, $t$ は $0$ でない任意の実数である.

解答例 2

$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とおくと, $$ A^{2}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^{2} \end{bmatrix}. $$ 与えられた等式 $A^{2}=E$ から, \begin{align} &a^2+bc=bc+d^2=1, \tag{1} \\ &b(a+d)=c(a+d)=0. \tag{2} \end{align}

$a\neq -d$ のとき. (2) より $b=c=0$. (1) より $a^{2}=d^{2}=1$. よって, $a=d=1$ または $a=d=-1$. ゆえに, $A=\pm E$.

$a=-d$ かつ $c\neq 0$ のとき. $s$ を任意の実数, $t$ を $0$ でない任意の実数として, $a=s$, $c=t$ とおけば, (1) より, $$ b = \frac{1-a^{2}}{c} = \frac{1-s^{2}}{t}. $$ このとき, $$ A = \begin{bmatrix} s & (1-s^{2})/t \\ t & -s \end{bmatrix}. $$

$a=-d$ かつ $c=0$ のとき. (1) より $a^{2}=d^{2}=1$. ゆえに, $a=-d=1$ または $a=-d=-1$ である. $s$ を任意の実数として, $b=s$ とおけば, $$ A = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} -1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

以上より, 求める行列 $A$ は次の形のものである. $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} s & (1-s^{2})/t \\ t & -s \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} -1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$ ただし, $s$ は任意の実数, $t$ は $0$ でない任意の実数である.

最終更新日：2011年11月02日