解答例 1

$0$, $0'$ をそれぞれ $R$, $R'$ の零元とする. $f(0)=0'$ かつ $0'\in J$ より, $0\in f^{-1}(J)$. よって, $f^{-1}(J)\neq\emptyset$.

$x$, $y\in f^{-1}(J)$, $r\in R$ とする. $x$, $y\in f^{-1}(J)$ より, $f(x)$, $f(y)\in J$ である. $f$ が準同型写像であることと $J$ が $R'$ の左イデアルであることより, \begin{align*} f(x-y) &= f(x) - f(y) \in J, \\ f(rx) &= f(r)f(x) \in J \end{align*} であるから, $x-y$, $rx\in f^{-1}(J)$.

最終更新日：2011年11月02日