解答例 1

$0$, $0'$ をそれぞれ $R$, $R'$ の零元とする. $f(0)=0'$ より, $0\in\ker{f}$. よって, $\ker{f}\neq\emptyset$.

任意の $x$, $y\in\ker{f}$, $r\in R$ に対して, \begin{align*} f(x-y) &= f(x)-f(y) = 0'-0' = 0', \\ f(rx) &= f(r)f(x) = f(r)\cdot 0' = 0', \\ f(xr) &= f(x)f(r) = 0'\cdot f(r) = 0' \end{align*} であるから, $x-y$, $rx$, $xr\in\ker{f}$.

最終更新日：2011年11月02日