$X$, $Y$ を集合, $f:X→Y$ を全射, $B$ を $Y$ の部分集合とする. このとき, $$ f(f^{-1}(B)) = B $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\subseteq$ は一般の写像に対して成り立つ.
$y\in B$ とする. $f$ は全射だから, ある $x\in X$ が存在して, $y=f(x)$ となる. このとき, $f(x)\in B$ であるから, $x\in f^{-1}(B)$. ゆえに, $y\in f(f^{-1}(B))$. したがって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日