$X$, $Y$ を集合, $f:X→Y$ を単射, $A$ を $X$ の部分集合とする. このとき, $$ f^{-1}(f(A)) = A $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\supseteq$ は一般の写像に対して成り立つ.
$x\in f^{-1}(f(A))$ とすると, $f(x)\in f(A)$ であるから, ある $x'\in A$ が存在して, $f(x)=f(x')$ となる. $f$ は単射だから, $x=x'$. ゆえに, $x\in A$. したがって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日