解答例 1

完備なノルム空間を Banach 空間という.

すなわち, $(X, \lVert{*}\rVert)$ をノルム空間とするとき, 実数値関数 $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ を $$ d(x, y) = \lVert{x-y}\rVert\quad (x, y\in X) $$ によって定めると, $d$ は $X$ 上の距離関数になり, $(X, d)$ は距離空間になる. $(X, d)$ が完備であるとき, $(X, \lVert{*}\rVert)$ を Banach 空間という.

ノルム $\lVert{*}\rVert$ を明示しなくても誤解のないときは, $X$ を Banach 空間という.

最終更新日：2011年11月02日