解答例 1

$K$ を体, $V$ を $K$ 上のベクトル空間とする.

$x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}\in V$ の $K$ 上の $1$ 次結合とは, $$ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}\quad (a_{i}\in K) $$ なる形の元のことをいう. $1$ 次結合のことを線形結合ともいう.

$x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}\in V$ の $K$ 上の $1$ 次関係とは, $$ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=0 \quad (a_{i}\in K) $$ なる形の関係式のことをいう. $1$ 次関係のことを線形関係ともいう.

$x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}\in V$ とする. 任意の $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}\in K$ に対して, $$ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n} = 0 \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0 $$ が成り立つとき, $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$ は $K$ 上 $1$ 次独立であるという. また, $1$ 次独立でないとき, すなわち, ある $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}\in K$ が存在して, $$ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n} = 0, \quad (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})\neq (0, 0, \ldots, 0) $$ が成り立つとき, $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$ は $K$ 上 $1$ 次従属であるという. $1$ 次独立のことを線形独立ともいい, $1$ 次従属のことを線形従属ともいう.

$V$ が $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}\in V$ によって $K$ 上生成されるとは, $V$ のすべての元が $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$ の $K$ 上の $1$ 次結合で表されるときにいう.

$b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}\in V$ が $V$ の $K$ 上の基底であるとは, 次の2つの条件が成り立つときにいう.

(B1) $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}$ は $K$ 上 $1$ 次独立である.

(B2) $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}$ によって $V$ は $K$ 上生成される.

$S$ を $V$ の部分集合とする. $S$ の任意の相異なる有限個の元が $K$ 上 $1$ 次独立であるとき, $S$ は $K$ 上 $1$ 次独立であるという. 空集合も $1$ 次独立な集合とする. また, $V$ のすべての元が $S$ の有限個の元の $1$ 次結合によって表されるとき, すなわち, $$ V = \left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \Biggm| a_i\in K,\,x_i\in S,\,n=1,2,\ldots \right\} $$ が成り立つとき, $V$ は $S$ によって $K$ 上生成されるといい, $S$ を $V$ の $K$ 上の生成系という.

$B$ を $V$ の空でない部分集合とする. $B$ が $K$ 上 $1$ 次独立であり, かつ $V$ が $S$ によって $K$ 上生成されるとき, $B$ を $V$ の $K$ 上の基底という.

体上のベクトル空間($\neq\{0\}$)においては, 基底が必ず存在し, その濃度は一定であることが知られている. 体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ において, その基底が有限集合であるとき, $V$ を有限次元のベクトル空間という. またこのとき, 基底に含まれるベクトルの個数を $V$ の $K$ 上の次元といい, $\dim_{K}{V}$ と書く. $V=\{0\}$ のときには, $V$ の $K$ 上の次元を $0$ と定める.

最終更新日：2011年11月02日