解答例 1

$H=\mathrm{Hom}_R(M, M')$ とおく.

各 $f$, $g\in H$ に対して, 写像 $f+g: M\rightarrow M'$ を $$ (f+g)(x) = f(x) + g(x)\quad (x\in M) $$ によって定義する. この $f+g$ によって加法を定めれば, $H$ は加法群になる.

各 $c\in R$ に対して, 写像 $cf: M\rightarrow M'$ を $$ (cf)(x) = c\cdot f(x)\quad (x\in M) $$ によって定義すれば, $cf\in H$ である. 実際, 任意の $x$, $y\in M$, $c$, $r\in R$ に対して, \begin{align*} (cf)(x+y) &= c\cdot f(x+y) = c\cdot\bigl(f(x) + f(y)\bigr) \\ &= c\cdot f(x) + c\cdot f(y) \\ &= (cf)(x) + (cf)(y), \\ (cf)(rx) &= c\cdot f(rx) = cr\cdot f(x) = rc\cdot f(x) \\ &= r\cdot (cf)(x). \end{align*} ここで, $cr\cdot f(x) = rc\cdot f(x)$ において $R$ が可換であることを用いた.

この $cf$ によってスカラー倍を定めると, $H$ は $R$ 加群になる. 実際, $1$ を $R$ の単位元とすると, 任意の $f$, $g\in H$, $a$, $b\in R$, $x\in M$ に対して, \begin{align*} \bigl(a(f+g)\bigr)(x) &= a\cdot(f+g)(x) = a\cdot\bigl(f(x)+g(x)\bigr) \\ &= a\cdot f(x) + a\cdot g(x) = (af)(x)+(ag)(x), \\ \bigl((a+b)f\bigr)(x) &= (a+b)\cdot f(x) = a\cdot f(x) + b\cdot f(x) \\ &= (af)(x) + (bf)(x), \\ \bigl((ab)f\bigr)(x) &= (ab)\cdot f(x) = a\cdot \bigl(b\cdot f(x)\bigr) \\ &= a\cdot (bf)(x) = \bigl(a(bf)\bigr)(x), \\ \bigl(1\cdot f)(x) &= 1\cdot f(x) = f(x). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日