解答例 1

$R$ が斜体であると仮定する. $I$ を $R$ の左イデアルとする. もし $I\neq (0)$ ならば, $I$ は $0$ でない元 $a$ を含む. 仮定より, $a$ の逆元 $a^{-1}$ が存在する. $I$ は左イデアルだから, $1=a^{-1}a\in I$. よって, $I=R$ となる. したがって, $R$ の左イデアルは $(0)$ と $R$ 以外に存在しない.

逆に, $R$ が $(0)$ と $R$ 以外に左イデアルを持たないと仮定する. $R=\{0\}$ の場合, $R$ はそもそも $0$ 以外の元を持たないので, $0$ でない元がすべて単元であることは自明であるから, $R$ は斜体である. 以下, $R\neq\{0\}$ とする. $a$ を $R$ の $0$ でない元とする. $a$ によって生成される左イデアル $$ Ra = \{xa\mid x\in R\} $$ は $(0)$ とは異なる. 実際, $1$ を $R$ の単位元とすれば, $a=1\cdot a\in Ra$ である. 仮定により, $Ra=R$ でなければならない. ゆえに, ある $b\in R$ が存在して, $ba=1$ となる. もし仮に $b=0$ ならば, $0=1$ となるから, $R=\{0\}$. これは $R\neq \{0\}$ としたことに反するから, $b\neq 0$ である. 同様に, $b$ に対して, ある $c\in R$ が存在して, $cb=1$ となる. このとき, $$ c = c\cdot 1 = c(ba) = (bc)a = 1\cdot a = a. $$ よって, $ab=ba=1$ となり, $b$ は $a$ の逆元である. ゆえに, $a$ は $R$ の単元である. したがって, $R$ は斜体である.

最終更新日：2011年11月02日