解答例 1

$i$ を虚数単位とする. $\sigma=\mathop{\mathrm{Re}}{s}$, $t = \mathop{\mathrm{Im}}{s}$ とおく.

任意の整数 $n\geq 1$ に対して, \begin{align*} \lvert n^{s}\rvert &= \lvert\exp(s\log{n})\rvert \\ &= \bigl\lvert\exp\bigl((\sigma+it)\log{n}\bigr)\bigr\rvert \\ &= \lvert\exp(\sigma\log{n} + it\log{n})\rvert \\ &= \lvert\exp(\sigma\log{n})\rvert = \lvert n^{\sigma}\rvert = n^{\sigma} \end{align*} であるから, $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left\lvert\frac{1}{n^s}\right\rvert = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\lvert n^s\rvert} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sigma}}. $$ 右辺は $\sigma>1$ のとき収束するから, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ は $\sigma>1$ のとき絶対収束する.

最終更新日：2011年11月02日