解答例 1

$s>1$ のとき, $1<\delta<s$ を満たす実数 $\delta$ を1つとる. $s-\delta>0$ より, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log{n}}{n^{s-\delta}} = 0. $$ よって, ある番号 $N$ が存在して, $n\geq N$ より大きい全ての $n$ に対して, $$ \frac{\log{n}}{n^{s-\delta}} < 1. $$ 両辺に $1/n^{\delta}$ を掛けると, $$ \frac{\log{n}}{n^s} < \frac{1}{n^{\delta}}. $$ このとき, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\delta}}$ が収束することから, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^s}$ も収束する.

$s\leq 1$ のとき, $$ \frac{1}{n}\leq \frac{\log{n}}{n^s} \quad (n=3, 4, \ldots) $$ であり, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ は発散するから, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^s}$ も発散する.

最終更新日：2011年11月02日