解答例 1

$s\leq 0$ のとき, 級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ は明らかに発散する.

$s>0$ のとき, $f(x)=1/x^s$ とおくと, $f(x)$ は区間 $[1, \infty)$ で単調に減少する連続関数であり, その区間内で常に $f(x)\geq 0$ である. また, $$ \int_{1}^{t}\frac{1}{x^s}\,dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{t^{1-s}-1}{1-s}, & \mbox{$s\neq 1$ のとき} \\ \log t, & \mbox{$s=1$ のとき} \end{cases} $$ であるから, 広義積分 $\displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x^s}\,dx$ は, $s>1$ のとき, またそのときに限って収束する. 積分判定法により, 級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ は, $s>1$ のとき収束し, $0<s\leq 1$ のとき発散する.

最終更新日：2011年11月02日