解答例 1

複素数の累乗の定義により, $$ i^i = e^{i\log i}. $$ 一方, $\log i$ は, \begin{align*} \log i &= \log\,\lvert i\rvert + i\mathop{\mathrm{arg}}i \\ &= \log 1 + i\cdot\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right) \\ & = i\cdot\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\quad (n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots). \end{align*} ゆえに, \begin{align*} i^i &= e^{i\cdot i\cdot\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)} \\ &= e^{-\frac{\pi}{2}-2\pi n}\quad (n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日