解答例 1

$y=\tan^{-1}{x}$ とおくと, $$ x = \tan{y} = \frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}. $$ この式を次々と変形していくと, \begin{align*} & (e^{y}+e^{-y})x = (e^{y}-e^{-y}), \\ & (1-x)e^{y} - (1+x)e^{-y} = 0, \\ & (1-x)e^{2y} - (1+x) = 0. \end{align*} $\lvert x\rvert<1$ より, $$ e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}. $$ ゆえに, $$ 2y = \log\frac{1+x}{1-x}. $$ したがって, $$ y = \frac{1}{2}\log\frac{1+x}{1-x}. $$

最終更新日：2011年11月02日