解答例 1

$y=\cosh^{-1}{x}$ とおくと, $$ x = \cosh{y} = \frac{1}{2}(e^y+e^{-y}). $$ したがって, $$ e^{2y} - 2xe^{y} + 1 = 0. $$ $X=e^y$ とおくと, $$ X^2 - 2xX + 1 = 0. $$ これを $X$ についての $2$ 次方程式と考えて解くと, $$ X = x\pm\sqrt{x^2-1}. $$ すなわち, $$ e^y = x\pm\sqrt{x^2-1}. $$ したがって, $$ y = \log(x\pm\sqrt{x^2-1}). $$ ところが, \begin{align*} &\log(x+\sqrt{x^2-1}) + \log(x-\sqrt{x^2-1}) \\ &= \log{(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})} \\ &= \log\bigl(x^2-(x^2-1)\bigr) = \log 1 = 0 \end{align*} であるから, $$ \log(x-\sqrt{x^2-1}) = -\log(x+\sqrt{x^2-1}). $$ ゆえに, $$ y = \pm\log(x + \sqrt{x^2-1}). $$

最終更新日：2011年11月02日