$X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $B_1$, $B_2$ を $f(X)$ の部分集合とする. このとき, $$ f^{-1}(B_1)= f^{-1}(B_2) \Longrightarrow B_1 = B_2 $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$f^{-1}(B_1)=f^{-1}(B_2)$ であると仮定する. $y\in B_1$ とする. $B_1\subseteq f(A)$ より $y\in f(A)$ であるから, ある $x\in A$ が存在して, $y=f(x)$ となる. よって, $$ x\in f^{-1}(B_1)=f^{-1}(B_2). $$ ゆえに, $$ y = f(x) \in B_2. $$ したがって, $B_1\subseteq B_2$. 逆の包含関係も同様にして示せる.
最終更新日：2011年11月02日