解答例 1

$y\in f(A\cap f^{-1}(B))$ とする. ある $x\in A\cap f^{-1}(B)$ が存在して, $y=f(x)$ となる. $x\in A\cap f^{-1}(B)$ より, $x\in A$ かつ $x\in f^{-1}(B)$ である. $x\in A$ より, $f(x)\in f(A)$ である. $x\in f^{-1}(B)$ より, $f(x)\in B$. ゆえに, $f(x)\in f(A)\cap B$. すなわち, $y\in f(A)\cap B$. したがって, $f(A\cap f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cap B$.

逆に, $y\in f(A)\cap B$ とする. $y\in f(A)$ かつ $y\in B$ である. $y\in f(A)$ より, ある $x\in A$ が存在して, $y=f(x)$ となる. $y\in B$ より $f(x)\in B$ であるから, $x\in f^{-1}(B)$. よって, $x\in A\cap f^{-1}(B)$ であり, $f(x)\in f(A\cap f^{-1}(B))$ である. すなわち, $y\in f(A\cap f^{-1}(B))$. したがって, 逆の包含関係も成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日