$X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $B$ を $Y$ の部分集合とする. このとき, $$ f(f^{-1}(B))\subseteq B $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成立しない例を挙げよ.
解答例 1
$y\in f(f^{-1}(B))$ とすると, ある $x\in f^{-1}(B)$ が存在して, $y=f(x)$ となる. $x\in f^{-1}(B)$ であるから, $f(x)\in B$. すなわち, $y\in B$. したがって, $f(f^{-1}(B))\subseteq B$.
また, $X=Y=\mathbb{R}$ とし, 写像 $f:X\rightarrow Y$ を $f(x)=x^2$ によって定め, $B = [-1, 1]$ とおく. すると, $$ f(f^{-1}(B)) = f([-1, 1]) = [0, 1] $$ となり, $f(f^{-1}(B))\neq B$ である.
最終更新日：2011年11月02日