$X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $A$ を $X$ の部分集合とする. このとき, $$ A\subseteq f^{-1}(f(A)) $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成立しない例を挙げよ.
解答例 1
$f^{-1}(f(A)) = \{x\in X\mid f(x)\in f(A)\}$ であるから, $$ x\in A \Longrightarrow f(x)\in f(A) \Longrightarrow x\in f^{-1}(f(A)). $$ ゆえに, $A\subseteq f^{-1}(f(A))$.
また, $X=Y=\mathbb{R}$ とし, 写像 $f:X\rightarrow Y$ を $f(x)=x^2$ によって定め, $A = [-1, 0]$ とおく. すると, $$ f^{-1}(f(A)) = f^{-1}([0, 1]) = [-1, 1] $$ となり, $f^{-1}(f(A))\neq A$ である.
最終更新日：2011年11月02日