$X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $B_1$, $B_2$ を $Y$ の部分集合とする. このとき, $$ f^{-1}(B_1\cup B_2) = f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} x\in f^{-1}(B_1\cup B_2) & \Longleftrightarrow f(x)\in B_1\cup B_2 \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$f(x)\in B_1$ または $f(x)\in B_2$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in f^{-1}(B_1)$ または $x\in f^{-1}(B_2)$} \\ & \Longleftrightarrow x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2). \end{align*} したがって, 等式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日