$X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $A_1$, $A_2$ を $X$ の部分集合とする. このとき, $$ f(A_1\cap A_2) \subseteq f(A_1)\cap f(A_2) $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成り立たない例を挙げよ.
解答例 1
$A_1$, $A_2$ はともに $A_1\cap A_2$ を含むから, $f(A_1)$, $f(A_2)$ はともに $f(A_1\cap A_2)$ を含む. ゆえに, $f(A_1\cap A_2) \subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ が成り立つ.
また, $X=Y=\mathbb{R}$ とし, 写像 $f:X\rightarrow Y$ を $f(x)=x^2$ によって定め, $A_1 = [0, 1]$, $A_2 = [-1, 0]$ とおく. すると, $$ f(A_1)\cap f(A_2) = [0, 1], \quad f(A_1\cap A_2) = f(\{0\}) = \{0\} $$ となり, $f(A_1\cap A_2)\neq f(A_1)\cap f(A_2)$ である.
最終更新日：2011年11月02日