$X$, $Y$ を集合とし, $A$ を $X$ の部分集合, $B$ を $Y$ の部分集合とするとき, $$ (X\times Y)\setminus (A\times B) = \bigl( (X\setminus A)\times Y\bigr)\cup \bigl(X\times(Y\setminus B)\bigr) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} & (x, y)\in (X\times Y)\setminus (A\times B) \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$(x, y)\in X\times Y$ かつ $(x, y)\not\in A\times B$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{「 $x\in X$ かつ $y\in Y$ 」かつ「 $x\not\in A$ または $y\not\in B$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{「 $x\in X$ かつ $y\in Y$ かつ $x\not\in A$ 」} \\ & \qquad\qquad \mbox{または「 $x\in X$ かつ $y\in Y$ かつ $y\not\in A$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{「 $x\in X\setminus A$ かつ $y\in Y$ 」または「 $x\in X$ かつ $y\in Y\setminus B$ 」} \\ & \Longleftrightarrow (x, y)\in \bigl( (X\setminus A)\times Y\bigr)\cup \bigl(X\times(Y\setminus B)\bigr). \end{align*} よって, 等式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日