解答例 1

\begin{align*} (x, y) \in (A\times B) \cup (C\times D) & \Longleftrightarrow \mbox{$(x, y)\in A\times B$ または $(x, y)\in C\times D$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{「 $x\in A$ かつ $y\in B$ 」または「 $x\in C$ かつ $y\in D$ 」} \\ & \Longrightarrow \mbox{「 $x\in A$ または $x\in C$ 」かつ「 $y\in B$ または $y\in D$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in A\cup C$ かつ $y\in B\cup D$} \\ & \Longleftrightarrow (x, y) \in (A\cup C)\times (B\cup D). \end{align*} よって, $(A\times B) \cup (C\times D) \subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$ が成り立つ.

また, $A=D=\{0\}$, $B=C=\{0, 1\}$ とすると, \begin{align*} (A\times B) \cup (C\times D) &= \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0) \}, \\ (A\cup C)\times (B\cup D) &= \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) \} \end{align*} となり, $(A\times B) \cup (C\times D) \neq (A\cup C)\times (B\cup D)$.

最終更新日：2011年11月02日