Keywords: de Morgan の法則, ド・モルガンの法則
$X$, $A$, $B$ を集合とするとき, \begin{align*} X\setminus (A\cup B) &= (X\setminus A)\cap (X\setminus B), \\ X\setminus (A\cap B) &= (X\setminus A)\cup (X\setminus B) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} x\in X\setminus (A\cup B) & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in X$ かつ $x\not\in A\cup B$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in X$ かつ「 $x\not\in A$ かつ $x\not\in B$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{「 $x\in X$ かつ $x\not\in A$ 」かつ「 $x\in X$ かつ $x\not\in B$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in X\setminus A$ かつ $x\in X\setminus B$} \\ & \Longleftrightarrow x\in (X\setminus A)\cap (X\setminus B). \end{align*} よって, 1番目の等式が成り立つ. また, \begin{align*} x\in X\setminus (A\cap B) & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in X$ かつ $x\not\in A\cap B$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in X$ かつ「 $x\not\in A$ または $x\not\in B$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{「 $x\in X$ かつ $x\not\in A$ 」または「 $x\in X$ かつ $x\not\in B$ 」} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in X\setminus A$ または $x\in X\setminus B$} \\ & \Longleftrightarrow x\in (X\setminus A)\cup (X\setminus B). \end{align*} よって, 2番目の等式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日