解答例 1

$B$, $A\setminus B$ はともに $A\cup B$ に含まれるから, $B \cup (A\setminus B)\subseteq A\cup B$. 逆に, $x\in A\cup B$ とする. $x\in A$ または $x\in B$ である. $x\not\in B$ と仮定すれば, $x\in A$ かつ $x\not\in B$, すなわち $x\in A\setminus B$ である. ゆえに, $x\in B$ または $x\in A\setminus B$. したがって, $x\in B \cup (A\setminus B)$ となり, 逆の包含関係もいえる. よって, 1番目の等式が成り立つ.

もし仮に $x\in B\cap (A\setminus B)$ となる元 $x$ が存在したとすれば, $x\in B$ かつ $x\in A\setminus B$. 後者より $x\not\in B$ が導かれるので, 矛盾が生じる. ゆえに, $B\cap (A\setminus B)=\emptyset$ でなければならない. よって, 2番目の等式が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日