解答例 1

$x\in A\setminus B$ とする. $x\in A$ かつ $x\not\in B$ である. $x\in A\subseteq A\cup B$ であるから, $x\in (A\cup B)\setminus B$. よって, $A\setminus B \subseteq (A\cup B)\setminus B$. また, $A\cap B\subseteq B$ より, $$ x\in A\cap B \Longrightarrow x\in B. $$ 対偶をとると, $$ x\not\in B \Longrightarrow x\not\in A\cap B. $$ ゆえに, $x\in A$ かつ $x\not\in A\cap B$. すなわち, $x\in A\setminus (A\cap B)$. よって, $A\setminus B\subseteq A\setminus (A\cap B)$.

逆に, $x\in A\setminus (A\cap B)$ とする. $x\in A$ かつ $x\not\in A\cap B$ である. もし仮に $x\in B$ であるとすれば, $x\in A\cap B$ となって矛盾が生じる. よって, $x\not\in B$. ゆえに, $x\in A\setminus B$. したがって, $A\setminus (A\cap B)\subseteq A\setminus B$.

$x\in (A\cup B)\setminus B$ とする. $x\in A\cup B$ かつ $x\not\in B$ である. 前者より, $x\in A$ または $x\in B$. これと $x\not\in B$ より, $x\in A$ が導かれる. ゆえに, $x\in A\setminus B$. したがって, $(A\cup B)\setminus B\subseteq A\setminus B$.

最終更新日：2011年11月02日