$A$ を集合とし, $\mathfrak{P}(A)$ を $A$ の冪集合とする. このとき, $\lvert A\rvert < \lvert\mathfrak{P}(A)\rvert$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
元に $1$ 元集合を対応させる写像 $$ f:A\longrightarrow\mathfrak{P}(A),\quad a\longmapsto \{a\} $$ を考えると, 任意の $a$, $b\in A$ に対して $$ f(a)=f(b) \Longrightarrow \{a\}=\{b\} \Longrightarrow a = b $$ であるから, $f$ は単射である. よって, $\lvert A\rvert \leq \lvert\mathfrak{P}(A)\rvert$.
$A$ から $\mathfrak{P}(A)$ への全射が存在しないことを用いると, $\lvert A\rvert\neq\lvert\mathfrak{P}(A)\rvert$. ゆえに, $\lvert A\rvert < \lvert\mathfrak{P}(A)\rvert$.
最終更新日：2011年11月02日