解答例 1

単射 $f:\mathfrak{P}(A)\rightarrow A$ が存在すると仮定する. $$ X = \{ f(B) \mid B\in\mathfrak{P}(A),\,f(B)\not\in B \} $$ とおくと, $X\in\mathfrak{P}(A)$ である.

$f(X)\not\in X$ と仮定すると, $X$ の定め方から $f(X)\in X$ となって矛盾が生じる.

$f(X)\in X$ と仮定すると, ある $B\in\mathfrak{P}$ が存在して, \begin{equation} f(X) = f(B),\quad f(B)\not\in B \tag{1} \end{equation} が成り立つ. (1) の1番目の条件と $f$ の単射性より, $X=B$. したがって, (1) の2番目の条件より, $f(X)\not\in X$ となる. いずれにせよ, 矛盾が生じる.

最終更新日：2011年11月02日