解答例 1

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $g(x)$ が区間 $J$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta_1>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta_1$ を満たす任意の $x$, $y\in J$ に対して, $$ \lvert g(x)-g(y) \rvert < \varepsilon. $$ また, $f(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert f(x)-f(y) \rvert < \delta_1. $$ よって, 任意の $x$, $y\in I$ に対して, \begin{align*} \lvert x-y\rvert<\delta & \Longrightarrow \lvert f(x)-f(y) \rvert < \delta_1 \\ & \Longrightarrow \lvert g(f(x))-g(f(y))\rvert < \varepsilon. \end{align*} ゆえに, $g\circ f$ は $I$ で一様連続である.

最終更新日：2011年11月02日