$I$ を区間とし, $f(x)$ を $I$ で一様連続な実数値関数とする. また, $c$ を実数とし, 任意の $x\in I$ に対して $$ 0 < c \leq \lvert f(x)\rvert $$ が成り立つとする. このとき, $1/f(x)$ も $I$ で一様連続であることを証明せよ.
解答例 1
実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $f(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert f(x)-f(y) \rvert < c^2\varepsilon. $$ このとき, $$ \left\lvert \frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(y)}\right\rvert = \frac{\lvert f(x)-f(y)\rvert}{\lvert f(x)\rvert\lvert f(y)\rvert} \leq \frac{c^2\varepsilon}{c^2}=\varepsilon. $$ ゆえに, $1/f(x)$ は $I$ で一様連続である.
最終更新日：2011年11月02日