解答例 1

$f(x)$ は $I$ で有界であるから, ある実数 $M_1>0$ が存在して, $$ \lvert f(x)\rvert < M_1. $$ $g(x)$ は $I$ で有界であるから, ある実数 $M_2>0$ が存在して, $$ \lvert g(x)\rvert < M_2. $$ このとき, $$ \lvert f(x)g(x)\rvert < M_1M_2 $$ であるから, $f(x)g(x)$ は $I$ で有界である.

$M=\max\{M_1, M_2\}$ とおけば, $M>0$であり, 任意の $x\in I$ に対して $$ \lvert f(x)\rvert < M,\quad \lvert g(x)\rvert < M $$ となる.

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $f(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta_1>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta_1$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert f(x)-f(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{2M}. $$ $g(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta_2>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta_2$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert g(x)-g(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{2M}. $$ $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ とおくと, $\lvert x-y\rvert<\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, \begin{align*} &\lvert f(x)g(x)-f(y)g(y)\rvert \\ &= \bigl\lvert f(x)\bigl(g(x)-g(y)\bigr)+\bigl(f(x)-f(y)\bigr)g(y)\bigr\rvert \\ &= \lvert f(x)\rvert\lvert g(x)-g(y)\rvert+\lvert f(x)-g(x)\rvert\lvert g(y)\rvert \\ &< M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + \frac{\varepsilon}{2M}\cdot M = \varepsilon. \end{align*} ゆえに, $f(x)g(x)$ は $I$ で一様連続である.

最終更新日：2011年11月02日