解答例 1

$c=0$ のとき, $cf(x)$ は定数関数なので一様連続である.

$c\neq 0$ とする. 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $f(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert f(x)-f(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{\lvert c\rvert}. $$ このとき, $$ \lvert cf(x)-cf(y)\rvert = \lvert c\rvert\lvert f(x)-f(y)\rvert < \lvert c\rvert\cdot\frac{\varepsilon}{\lvert c\rvert} = \varepsilon. $$ ゆえに, $cf(x)$ は $I$ で一様連続である.

最終更新日：2011年11月02日