解答例 1

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $f(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta_1>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta_1$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert f(x)-f(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{2}. $$ $g(x)$ が区間 $I$ で一様連続であることから, ある実数 $\delta_2>0$ が存在して, $\lvert x-y\rvert<\delta_2$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert g(x)-g(y) \rvert < \frac{\varepsilon}{2}. $$ $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ とおくと, $\lvert x-y\rvert<\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, \begin{align*} &\bigl\lvert \bigl(f(x)+g(x)\bigr) - \bigl(f(y)+g(y)\bigr)\bigr\rvert \\ &= \bigl\lvert \bigl(f(x)-f(y)\bigr) + \bigl(g(x)-g(y)\bigr)\bigr\rvert \\ &\leq\lvert f(x)-f(y)\rvert + \lvert g(x)-g(y)\rvert \\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{align*} ゆえに, $f(x)+g(x)$ は $I$ で一様連続である.

最終更新日：2011年11月02日