解答例 1

$I=(0, 1]$ とおく. 実数 $\delta>0$ を任意にとる. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n(n+1)} = 0$ より, ある正の整数 $N$ が存在して, $$ \frac{1}{N(N+1)}<\delta $$ が成り立つ. $x=1/N$, $y=1/(N+1)$ とおくと, $x$, $y\in I$ であり, $$ \lvert x-y\rvert = \left\lvert \frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} \right\rvert = \frac{1}{N(N+1)} < \delta. $$ 一方, $$ \lvert f(x)-f(y)\rvert = \left\lvert \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right\rvert = \lvert N-(N+1) \rvert = 1. $$ ゆえに, $f(x)$ は $I$ で一様連続ではない.

最終更新日：2011年11月02日