解答例 1

$I=(0, \infty)$ とおく. 実数 $\delta>0$ を任意にとる. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$ より, ある正の整数 $N$ が存在して, $1/N<\delta$. すなわち, $$ N\delta > 1. $$ $x=N+\delta/2$, $y=N$ とおくと, $x$, $y\in I$ であり, $$ \lvert x-y\rvert = \frac{\delta}{2}<\delta. $$ 一方, $$ \lvert f(x)-f(y)\rvert = \lvert x^2-y^2\rvert = \left\lvert \left(N+\frac{\delta}{2}\right)^2 - N^2 \right\rvert = N\delta+\frac{\delta^2}{4} > 1. $$ ゆえに, $f(x)$ は $I$ で一様連続ではない.

最終更新日：2011年11月02日