解答例 1

$I=[0, \infty)$ とおく. まず, 任意の $x$, $y\in I$ に対して, 不等式 $$ \lvert\sqrt{x}-\sqrt{y}\rvert \leq \sqrt{\lvert x-y\rvert} $$ が成り立つ. 実際, $x\geq y$ のとき, \begin{align*} \lvert x-y\rvert - \lvert\sqrt{x}-\sqrt{y}\rvert^2 &= x - y - (x+y-2\sqrt{xy}) \\ &= 2y + 2\sqrt{xy} \geq 0. \end{align*} $x<y$ のとき, \begin{align*} \lvert x-y\rvert - \lvert\sqrt{x}-\sqrt{y}\rvert^2 &= y - x - (x+y-2\sqrt{xy}) \\ &= 2\sqrt{xy}-2x \\ &= 2\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x}) \geq 0. \end{align*}

さて, 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $\delta=\varepsilon^2$ とおくと, $\lvert x-y \rvert<\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in I$ に対して, $$ \lvert f(x)-f(y)\rvert = \lvert\sqrt{x}-\sqrt{y}\rvert \leq \sqrt{\lvert x-y\rvert} < \sqrt{\delta} = \varepsilon. $$ ゆえに, $f(x)$ は $I$ で一様連続である.

最終更新日：2011年11月02日