解答例 1

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる.

$a\neq 0$ のとき, $\delta=\varepsilon/\lvert a\rvert$ とおくと, $\lvert x-y\rvert <\delta$ を満たす任意の $x$, $y\in\mathbb{R}$ に対して, \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert &= \lvert (ax+b)-(ay+b)\rvert \\ &= \lvert a(x-y)\rvert = \lvert a\rvert\lvert x-y\rvert \\ &< \lvert a\rvert\delta = \varepsilon. \end{align*} ゆえに, $f(x)$ は $\mathbb{R}$ で一様連続である.

$a=0$ のときは自明である. 実際, 任意の $x$, $y\in\mathbb{R}$ に対して, $$ \lvert f(x) - f(y)\rvert = \lvert b-b\rvert = 0 < \varepsilon $$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日