解答例 1

与えられた曲線の長さを $L$ とすると, \begin{align*} L &= \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}\,d\theta \\ &= a\int_0^{2\pi}\sqrt{2(1+\cos\theta)}\,d\theta = a\int_0^{2\pi}\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}}\,d\theta \\ &= 2a\int_0^{2\pi}\left\lvert\cos\frac{\theta}{2}\right\rvert\,d\theta = 2a\int_0^{\pi}\lvert\cos t\rvert\cdot 2\,dt \\ &= 4a\int_0^{\pi}\lvert\cos t\rvert\,dt = 4a\cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\lvert\cos t\rvert\,dt \\ &= 8a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt = 8a. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日