解答例 1

与えられた曲線は $$ x = a\cos^3t,\quad y=a\cos^3t,\quad 0\leq t\leq 2\pi $$ とパラメータ表示される. 曲線の長さを $L$ とすると, $$ L = \int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt. $$ 一方, $x$, $y$ をそれぞれ $t$ で微分すると, \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= -3a\cos^2t\sin t, \\ \frac{dy}{dt} &= 3a\sin^2t\cos t. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &=9a^2\cos^2t\sin^2t(\cos^2t+\sin^2t) \\ &=\left(\frac{3}{2}a\sin 2t\right)^2. \end{align*} したがって, \begin{align*} L &= \frac{3}{2}a\int_0^{2\pi}\lvert\sin 2t\rvert\,dt = \frac{3}{2}a\int_0^{4\pi}\lvert\sin u\rvert\cdot\frac{1}{2}\,du \\ &= \frac{3}{4}a\int_0^{4\pi}\lvert\sin u\rvert\,du = \frac{3}{4}a\cdot 8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\lvert\sin u\rvert\,du \\ &= 6a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin u\,du = 6a. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日