解答例 1

与えられた曲線の第 $1$ 象限の部分は $$ x = a\cos^3t,\quad y=a\cos^3t,\quad 0\leq t\leq \frac{\pi}{2} $$ とパラメータ表示される. その部分と $x$ 軸, $y$軸 とで囲まれた図形の面積を $S_1$ とすると, \begin{align*} S_1 &= \int_0^ay\,dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0y\frac{dy}{dt}\,dt \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0a\sin^3t(-3a\cos^2t\sin t)\,dt \\ &= 3a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t\cos^2t\,dt \\ &= 3a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t(1-\sin^2t)\,dt \\ &= 3a^2\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t\,dt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6t\,dt\right) \\ &= 3a^2\left(\frac{3}{16}\pi-\frac{5}{32}\pi\right) = \frac{3}{32}\pi a^2. \end{align*} $(x, y)$ が与えられた曲線上の点ならば, $(\pm x, \pm y)$ も曲線上の点である. よって, 曲線は $x$ 軸にも $y$ 軸にも対称である. したがって, 曲線に囲まれた図形の面積 $S$ は, $$ S = 4S_1 = \frac{3}{8}\pi a^2. $$

解答例 2

与えられた曲線で囲まれた閉領域を $D$ で表すと, その面積 $S$ は $$ S = \iint_Ddxdy. $$ 平面の極座標変換 $$ x = r\cos^3\theta,\quad y=r\sin^3\theta $$ によって, $$ E = \{ (r, \theta)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\leq r\leq a,\, 0\leq\theta\leq 2\pi \} $$ は $D$ に対応する. その変換の Jacobi 行列式を計算すると, \begin{align*} \det\begin{bmatrix} x_r & x_{\theta} \\ y_r & y_{\theta}\end{bmatrix} &= \det\begin{bmatrix} \cos^3\theta & -3r\cos^2\theta\sin\theta \\ \sin^3\theta & -3r\sin^2\theta\cos\theta \end{bmatrix} \\ &= 3r\sin^2\theta\cos^2\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta) \\ &= \frac{3}{4}r\sin^22\theta \end{align*} であるから, $$ dxdy = \frac{3}{4}r\sin^22\theta\,drd\theta. $$ 重積分の変換公式により, \begin{align*} \iint_Ddxdy &= \iint_E\frac{3}{4}r\sin^22\theta\,drd\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(\int_0^a\frac{3}{4}r\sin^22\theta\right)d\theta \\ &= \frac{3}{4}\int_0^ar\,dr\int_0^{2\pi}\sin^22\theta\,d\theta. \end{align*} 一方, \begin{align*} \int_0^{2\pi}\sin^22\theta\,d\theta &= \int_0^{2\pi}\frac{1-\cos 4\theta}{2}\,d\theta \\ &= \left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 4\theta}{8}\right]_0^{2\pi} \\ &= \pi \end{align*} であるから, $$ S = \iint_Ddxdy = \frac{3}{4}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot\pi = \frac{3}{8}\pi a^2. $$

最終更新日：2011年11月02日