解答例 1

$a_n=1/n$ とおくと, 数列 $(a_n)$ は $0$ に収束する正の単調減少数列であるから, 交代級数 $\sum (-1)^{n+1}a_n$ は収束する.

部分和を計算すると, \begin{align*} S_{2n} &= \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-2\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k} \\ &= \sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k} \\ &= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{k}{n}}\frac{1}{n}. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} &= \lim_{n\to\infty}S_{2n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{k}{n}}\frac{1}{n} \\ &= \int_0^1\frac{dx}{1+x} = \bigl[\log\lvert 1+x\rvert \bigr]_0^1 = \log 2. \end{align*}

解答例 2

$f(x)=\log(1+x)$ とすれば, $$ f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\quad (n=1, 2, \ldots) $$ となるから, Taylor の定理より, ある実数 $\theta$ ($0<\theta<1$) が存在して, \begin{align*} f(x) &= \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(\theta x) \\ &= \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k + \frac{1}{n}\frac{x^n}{(1+\theta x)^n}. \end{align*} $x=1$ を代入すると, $$ \log 2 = f(1) = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} + \frac{1}{n}\frac{1}{(1+\theta)^n}. $$ よって, $$ \left\lvert \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} - \log 2 \right\rvert = \left\lvert\frac{1}{n}\frac{1}{(1+\theta)^n}\right\rvert <\frac{1}{n}\to 0\quad (n\to\infty). $$ したがって, $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \log 2. $$

最終更新日：2011年11月02日