解答例 1

$\mathbb{C}$ の領域 $D$ に対応する $\mathbb{R}^2$ の領域を $D'$ とおく: $$ D' = \{ (x, y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y\sqrt{-1}\in D\}. $$ $z=x+y\sqrt{-1}$, $x$, $y\in\mathbb{R}$ とする. $D'$ 上の実数値関数 $u$, $v$ を $$ u(x, y) = \mathop{\mathrm{Re}}f(z),\quad v(x, y) = \mathop{\mathrm{Im}}f(z) $$ によって定める. すると, \begin{align*} f(z) &= u(x, y)+v(x, y)\sqrt{-1}, \\ f'(z) &= u_x(x, y) + v_x(x, y)\sqrt{-1} \\ &= v_y(x, y) - u_y(x, y)\sqrt{-1} \end{align*} が成り立つ. 仮定より $f'(z)=0$ であるから, $$ u_x=u_y=0,\quad v_x=v_y=0. $$ $D'$ は領域だから, $u(x, y)$, $v(x, y)$ はともに $D'$ 上の定数関数である. したがって, $f(z)$ は $D$ 上の定数関数である.

最終更新日：2011年11月02日