解答例 1

最初に, $A$ が正規行列ならば, あるユニタリ行列 $U$ が存在して, \begin{equation} U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \tag{1} \end{equation} と対角化できる. しかも, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ は $A$ のすべての固有値である.

$A$ がユニタリ行列であるとする. $$ A^*A = AA^* = E $$ であるから, $A$ は正規行列である. このことから, あるユニタリ行列 $U$ が存在して, (1) のように対角化できる. $AA^*=E$, $U^{-1}=U^*$ より \begin{align*} \begin{bmatrix} \lambda_1\overline{\lambda_1} & & & \\ & \lambda_2\overline{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n\overline{\lambda_n} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{\lambda_1} & & & \\ & \overline{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \overline{\lambda_n} \end{bmatrix} \\ &= (U^{-1}AU)(U^{-1}AU)^* = (U^{-1}AU)(U^*AU)^* \\ &= (U^{-1}AU)(U^*A^*(U^*)^*) = (U^{-1}AU)(U^{-1}A^{-1}U) \\ &= E \end{align*} であるから, $$ \lvert \lambda_i\rvert^2 = \lambda_i\overline{\lambda_i} = 1 \quad (i=1, 2, \ldots, n). $$ ゆえに, $A$ の固有値はすべて絶対値 $1$ の複素数である.

逆に, $A$ が正規行列であり, かつ $A$ の固有値がすべて絶対値 $1$ の複素数であるとする. $A$ は正規行列だから, あるユニタリ行列 $U$ が存在して, (1) のように対角化できる. 対角成分は $A$ の固有値であり, それらはすべて絶対値 $1$ の複素数であるから, \begin{align*} E &= \begin{bmatrix} \lambda_1\overline{\lambda_1} & & & \\ & \lambda_2\overline{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n\overline{\lambda_n} \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{\lambda_1} & & & \\ & \overline{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \overline{\lambda_n} \end{bmatrix} \\ &= (U^{-1}AU)(U^{-1}AU)^* = (U^{-1}AU)(U^*AU)^* \\ &= (U^{-1}AU)(U^*A^*(U^*)^*) = (U^{-1}AU)(U^{-1}A^*U) \\ &= U^{-1}AA^*U. \end{align*} ゆえに, $AA^*=E$. したがって, $A$ はユニタリ行列である.

最終更新日：2011年11月02日