解答例 1

最初に, $A$ が正規行列ならば, あるユニタリ行列 $U$ が存在して, \begin{equation} U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \tag{1} \end{equation} と対角化できる. しかも, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ は $A$ のすべての固有値である.

$A$ が交代 Hermite 行列であるとする. $A^*=-A$ より, $$ A^*A = -A^2 = AA^*. $$ ゆえに, $A$ は正規行列である. このことから, あるユニタリ行列 $U$ が存在して, (1) のように対角化できる. $A^*=-A$, $U^{-1} = U^*$ より \begin{align*} \begin{bmatrix} \overline{\lambda_1} & & & \\ & \overline{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \overline{\lambda_n} \end{bmatrix} &= (U^{-1}AU)^* = (U^*AU)^* \\ &= U^*A^*(U^*)^* = U^{-1}(-A)U = -U^{-1}AU \\ &= \begin{bmatrix} -\lambda_1 & & & \\ & -\lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & -\lambda_n \end{bmatrix} \end{align*} であるから, $$ \overline{\lambda_i}=-\lambda_i \quad (i=1, 2, \ldots, n). $$ ゆえに, $A$ の固有値はすべて純虚数である.

逆に, $A$ が正規行列であり, かつ $A$ の固有値がすべて純虚数であるとする. $A$ は正規行列だから, あるユニタリ行列 $U$ が存在して, (1) のように対角化できる. 対角成分は $A$ の固有値であり, それらはすべて純虚数であるから, \begin{align*} U^{-1}(-A)U &= -U^{-1}AU \\ &= \begin{bmatrix} -\lambda_1 & & & \\ & -\lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & -\lambda_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \overline{\lambda_1} & & & \\ & \overline{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \overline{\lambda_n} \end{bmatrix} \\ &= (U^{-1}AU)^* = (U^*AU)^* \\ &= U^*A^*(U^*)^* = U^{-1}A^*U. \end{align*} ゆえに, $-A=A^*$. したがって, $A$ は交代 Hermite 行列である.

最終更新日：2011年11月02日