$B$, $C$ を $n$ 次 Hermite 行列とし, $A=B+\sqrt{-1}C$ とおくとき, \begin{equation} AA^*=A^*A \Longleftrightarrow BC=CB \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$B^*=B$, $C^*=C$ より, $$ A^* = (B+\sqrt{-1}C)^* = B^*-\sqrt{-1}C^* = B-\sqrt{-1}C. $$ よって, \begin{align*} AA^* - A^*A &= (B+\sqrt{-1}C)(B-\sqrt{-1}C) \\ &\qquad -(B-\sqrt{-1}C)(B+\sqrt{-1}C) \\ &= 2\sqrt{-1}(CB-BC). \end{align*} ゆえに, $$ AA^* - A^*A = O \Longleftrightarrow CB-BC=O. $$ したがって, ($*$) が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日