解答例 1

$f(t)$, $\mu_A(t)$ はともに $K[t]$ に属する. よって, ある $q(t)$, $r(t)\in K[t]$ が存在して, $$ f(t) = \mu_A(t)q(t) + r(t), \quad \deg r(t) < \deg q(t) $$ が成り立つ. 仮定より, $f(A)=O$. また, $\mu_A(t)$ は $A$ の最小多項式であるから, $\mu_A(A)=O$. ゆえに, $$ r(A) = f(A) - \mu_A(A)q(A) = O. $$ もし仮に $\deg r(t)>0$ とすると, $\mu_A(t)$ が次数最小であることに矛盾する. ゆえに, $r(t)$ は定数でなければならない. ところが, $r(A)=0$ となるのは $r(t)=0$ のときだけである. したがって, $f(t)=\mu_A(t)q(t)$ となる.

最終更新日：2011年11月02日