$K$ を体とし, $V$ を $K$ 上のベクトル空間, $W_1$, $W_2$ を $V$ の部分空間とする. $W_1\cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば, $W_1\subseteq W_2$ または $W_2\subseteq W_1$ となることを証明せよ.
解答例 1
$W_1\cup W_2$ が $V$ の部分空間であり, $W_1\not\subseteq W_2$ であるとする. そのとき, $u\in W_1$ かつ $u\not\in W_2$ となる $u$ が存在する. さらに, 任意の $v\in W_2$ に対し, $u+v\in W_1\cup W_2$ である. これがもし $W_2$ の元ならば, $$ u = (u+v) - v \in W_2 $$ となり矛盾が生じる. ゆえに, $u+v\in W_1$ となり, $$ v = (u+v) - u \in W_1. $$ したがって, $W_2\subseteq W_1$.
最終更新日：2011年11月02日